Доверительные границы представляют диапазон значений, в пределах которого с заданной вероятностью находится оцениваемый параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных типов данных.
Содержание
Основные понятия
| Термин | Определение |
| Доверительный уровень | Вероятность (обычно 90%, 95% или 99%), с которой параметр находится в интервале |
| Доверительный интервал | Диапазон значений между нижней и верхней границей |
| Стандартная ошибка | Мера изменчивости выборочной статистики |
Методы расчета доверительных границ
1. Для среднего значения (нормальное распределение)
- Определите выборочное среднее (x̄)
- Вычислите стандартное отклонение (σ)
- Определите объем выборки (n)
- Выберите доверительный уровень и найдите z-критерий
- Рассчитайте границы: x̄ ± z*(σ/√n)
2. Для доли признака
- Вычислите выборочную пропорцию (p̂)
- Определите объем выборки (n)
- Найдите стандартную ошибку: SE = √[p̂(1-p̂)/n]
- Выберите доверительный уровень и z-значение
- Рассчитайте границы: p̂ ± z*SE
Критические значения для разных доверительных уровней
| Доверительный уровень | z-значение (нормальное распределение) | t-значение (n=30) |
| 90% | 1.645 | 1.697 |
| 95% | 1.960 | 2.042 |
| 99% | 2.576 | 2.750 |
Практические примеры расчета
Пример 1: Среднее значение
- Выборочное среднее: 50
- Стандартное отклонение: 10
- Объем выборки: 100
- Доверительный уровень: 95% (z=1.96)
- Границы: 50 ± 1.96*(10/√100) = [48.04, 51.96]
Пример 2: Доля признака
- Выборочная пропорция: 0.4
- Объем выборки: 200
- Доверительный уровень: 99% (z=2.576)
- Стандартная ошибка: √[0.4*0.6/200] ≈ 0.0346
- Границы: 0.4 ± 2.576*0.0346 ≈ [0.31, 0.49]
Программные средства для расчета
- Excel: функции ДОВЕРИТ.НОРМ() и ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
- R: t.test() для t-интервалов, prop.test() для пропорций
- Python: scipy.stats.norm.interval() и scipy.stats.t.interval()
- SPSS: Анализ → Описательные статистики → Исследование
Факторы, влияющие на ширину интервала
| Фактор | Влияние на ширину интервала |
| Объем выборки | Увеличение n уменьшает ширину |
| Доверительный уровень | Увеличение уровня расширяет интервал |
| Изменчивость данных | Большая дисперсия увеличивает ширину |
Интерпретация результатов
- Более узкий интервал указывает на большую точность оценки
- Пересекающиеся интервалы могут свидетельствовать об отсутствии значимых различий
- Интервал, не включающий нуль (для разностей), указывает на статистическую значимость
- Доверительные границы не являются вероятностным утверждением о параметре
